MATLAB в инженерных и научных расчетах


Продолжение таблицы 2.3 - часть 5


/p>

 

2.5. Приближенное вычисление определенных интегралов

К вычислениям определенных интегралов сводятся многие практические задачи физики, химии, экологии, механики и других естественных наук. На практике формулой Ньютона-Лейбница не всегда удается воспользоваться. В этом случае используются методы численного интегрирования. Они основаны на следующих соображениях: с геометрической точки зрения определенный интеграл

 представляет собой площадь криволинейной трапеции. Идея методов численного интегрирования сводится к разбиению интервала [a; b] на множество меньших интервалов и нахождению искомой площади как совокупности элементарных площадей, полученных на каждом частичном промежутке разбиения. В зависимости от использованной аппроксимации получаются различные формулы численного интегрирования, имеющие различную точность. Рассмотрим методы трапеций и Симпсона (парабол).

Метод трапеций.

Здесь используется линейная аппроксимация, т. е. график функции y = f(x) представляется в виде ломаной, соединяющей точки yi. Формула трапеций при постоянном шаге

, где п – число участков, имеет вид

.                                           (2.8)

В MATLAB данную формулу реализует программа trapz (x,y).

 

Метод Симпсона

Если подынтегральную функцию заменить параболой, то формула Симпсона с постоянным шагом интегрирования предстанет в виде

.             (2.9)

В MATLAB формула Симпсона реализуется программой quad. Подынтегральная функция может задаваться с помощью дескриптора @, тогда она программируется в файле – функции, или с помощью апострофов, тогда она записывается в самой программе quad. Точность вычисления интегралов по умолчанию принята равной 1×10-6.

 

Пример 6. Вычислить и вывести на печать по методам трапеций и Симпсона значения интеграла

Протокол программы метода трапеций

>> x

= 0 : 0.0001 : 1.0 ;

>> y

= 1./ (1+x.^2) ;

>> z

= trapz(x, y)

Результат вычислений

z =

        0.7854

Протокол программы метода Симпсона




Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин